ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ | МОДУЛЬ 4

Полная вероятность, Байес, Бернулли, Пуассон, Лаплас

Формулы, приближения, таблицы

4.1 Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть H₁,...,H_n — полная группа несовместных гипотез. Тогда

P(A) = ∑_i=1ⁿ P(H_i)·P(A|H_i)

Формула Байеса (переоценка гипотез):

P(H_k|A) = P(H_k)·P(A|H_k) / P(A)

4.2 Схема Бернулли (независимые испытания)

Вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p:

P_n(k) = C_n^k p^k q^n−k, q=1−p

4.3 Теорема Пуассона

При n→∞, p→0, np = λ (const):

P_n(k) ≈ e^−λ · λ^k / k!

4.4 Локальная теорема Лапласа

При больших n, 0<p<1:

P_n(k) ≈ (1/√(npq)) · φ(x), x = (k−np)/√(npq)

φ(x) = (1/√(2π))·e^−x²/2 — плотность стандартного нормального распределения.

4.5 Интегральная теорема Лапласа

P(k₁ ≤ k ≤ k₂) ≈ Φ(x₂) − Φ(x₁)

где Φ(x) = (1/√(2π)) ∫_−∞^x e^−t²/2 dt — функция Лапласа.

Полная вероятность и формула Байеса

Введите вероятности гипотез и условные вероятности события A.

Число гипотез n:

Схема Бернулли и приближения

n: p: k:

Интегральная теорема Лапласа

n: p: k₁: k₂:

Таблицы значений

Локальная функция φ(x) — небольшая таблица:

x	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
φ(x)	0.3989	0.3521	0.2420	0.1295	0.0540	0.0175	0.0044

Интегральная функция Лапласа Φ(x) (значения для x≥0):

x	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
Φ(x)	0.0000	0.1915	0.3413	0.4332	0.4772	0.4938	0.4987

Для отрицательных x: Φ(-x) = -Φ(x).

ИИ-консультант

Задайте вопрос по формулам полной вероятности, Байеса, Бернулли, теоремам Лапласа:

Ответ появится здесь...

Проверь себя

Вопрос: Какая формула используется для переоценки вероятностей гипотез после получения события A?

Формула полной вероятности Формула Байеса Формула Бернулли Локальная теорема Лапласа

Полезные ресурсы

Полная вероятность Байес Бернулли Теоремы Лапласа