Определение
Для функции f(x) с периодом 2L ряд Фурье имеет вид:
f(x) = a0/2 + ∑n=1∞ [an cos(nπx/L) + bn sin(nπx/L)]
Коэффициенты Фурье
a0 = (1/L) ∫-LL f(x) dx
an = (1/L) ∫-LL f(x) cos(nπx/L) dx
bn = (1/L) ∫-LL f(x) sin(nπx/L) dx
Для функции на интервале [0, 2L] формулы аналогичны с заменой пределов.
Условия Дирихле
- Функция кусочно-непрерывна на периоде.
- Имеет конечное число экстремумов.
- Ряд сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднему арифметическому пределов в точках разрыва.
Пример
Разложение f(x) = x на [-π, π]:
x = 2(sin x - sin 2x/2 + sin 3x/3 - ...)
Свойства
- Для чётной функции bn = 0 (ряд по косинусам).
- Для нечётной функции an = 0 (ряд по синусам).
- Равенство Парсеваля: (1/L)∫ f2 dx = a02/4 + ½ ∑(an2+bn2).