ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА | МОДУЛЬ 54

Ряд Тейлора и Маклорена

Разложение функций в степенные ряды

Формула Тейлора

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)(x-x0)²/2! + ... + f(n)(x0)(x-x0)n/n! + Rn(x)

где Rn(x) — остаточный член (в форме Лагранжа, Пеано и др.).

Ряд Маклорена (частный случай при x0 = 0)

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ...

Разложения основных элементарных функций

  • ex = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
  • sin x = x - x³/3! + x5/5! - ...
  • cos x = 1 - x²/2! + x4/4! - ...
  • ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... (|x| < 1)
  • (1+x)α = 1 + αx + α(α-1)x²/2! + ...

Применения

Приближённое вычисление значений функций, пределов, интегралов, решение дифференциальных уравнений.

Разложение в ряд

ex (Маклорен)
sin x
cos x
ln(1+x)
ex (x0=1)
Своя функция
Результат появится здесь

ИИ-консультант

Задайте вопрос по рядам Тейлора и Маклорена:

Ответ появится здесь...

Попробуйте сами

Найдите первые 3 члена разложения в ряд Маклорена для f(x) = ex.

Проверь себя

Вопрос: Чему равен второй член разложения cos x в ряд Маклорена?

Полезные ресурсы

Ряд Тейлора (Wiki) Wolfram MathWorld Khan Academy

Оценка эффективности ИИ-инструментов в обучении