Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид: F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0. Порядок уравнения — наивысший порядок производной.

Задача Коши

Требуется найти решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y₁, ..., y^(n-1)(x₀) = y_n-1.

Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами

Решение ищется в виде y = e^kx. Подстановка приводит к характеристическому уравнению:

Случай ДУ второго порядка (y'' + p y' + q y = 0)

• Если корни k₁ ? k₂ (действительные): y = C₁e^k₁x + C₂e^k₂x
• Если k₁ = k₂ (кратный): y = (C₁ + C₂x) e^k₁x
• Если k_1,2 = ? ± i? (комплексные): y = e^?x(C₁ cos ?x + C₂ sin ?x)

Понижение порядка

Для уравнений, не содержащих явно y, можно сделать замену z = y' и понизить порядок.