Системы линейных уравнений

4.1 Ранг матрицы

Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). Обозначается rank(A). Ранг равен порядку наибольшего ненулевого минора. Система совместна тогда и только тогда, когда rank(A) = rank(A|b).

4.2 Основные понятия

Система m линейных уравнений с n неизвестными:

Матричная форма: A * x = b, где A — матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, b — вектор правых частей.

• Совместная система — имеет хотя бы одно решение.
• Определённая — единственное решение (rank = n).
• Неопределённая — бесконечно много решений (rank < n).

4.3 Правило Крамера

Для квадратных систем (n уравнений, n неизвестных) с det(A) != 0:

Пример для 2x2: система { a x + b y = e; c x + d y = f } > x = (e d - b f)/(ad-bc), y = (a f - e c)/(ad-bc).

4.4 Метод Гаусса

Приведение расширенной матрицы [A|b] к ступенчатому виду (прямой ход) и последующая обратная подстановка. Универсальный метод, работает для любых систем.

4.5 Матричный метод (через обратную матрицу)

Для квадратных систем с det(A) != 0: x = A^(-1) * b. Требует вычисления обратной матрицы.