ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА | МОДУЛЬ 38

Формула Остроградского-Грина

Связь криволинейного интеграла с двойным интегралом

Формула

∷_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dy

где C — замкнутый контур, ограничивающий область D, обходимый в положительном направлении (против часовой стрелки). Функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в области D.

Условия применения

Область D — односвязная (без дыр).
Функции P, Q и их производные непрерывны на D и на контуре C.
Положительное направление обхода — область остаётся слева.

Следствия

Если ∂Q/∂x = ∂P/∂y, то интеграл по замкнутому контуру равен нулю → поле потенциально.
Формула позволяет вычислять площадь области: S = ½ ∷ (x dy - y dx).

Пример

Вычислить ∷ (x² y dx + x y² dy) по окружности x²+y²=1.

∂Q/∂x = y², ∂P/∂y = x² → разность = y² - x².
Переход к полярным координатам: ∬ (y²-x²) dxdy = ∫ r²(sin²φ - cos²φ) r dr dφ = 0.
Ответ: 0.

Вычисление через формулу Грина

P = x²y, Q = xy²

P = y, Q = x (площадь)

P = -y, Q = x (удвоенная площадь)

P = x, Q = y

Свои функции

x от до y от до

Область D — прямоугольник [x1,x2]×[y1,y2] (для простоты).

Результат появится здесь

ИИ-консультант

Задайте вопрос по формуле Остроградского-Грина:

Ответ появится здесь...

Попробуйте сами

Вычислите ∷ (x² y dx + x y² dy) по квадрату [-1,1]×[-1,1] с помощью формулы Грина.

Проверь себя

Вопрос: Что выражает формула Грина?

Связь поверхностного и тройного интеграла Связь криволинейного интеграла по замкнутому контуру с двойным интегралом по области Формулу замены переменной в двойном интеграле Интегрирование по частям

Полезные ресурсы

Формула Грина (Wiki) Wolfram MathWorld Khan Academy (видео)