ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА | МОДУЛЬ 3

Обратная матрица

Методы вычисления | Условия существования | Алгоритм Гаусса–Жордана

Определение: Матрица A^(-1) называется обратной к квадратной матрице A, если:

A * A^(-1) = A^(-1) * A = E

где E — единичная матрица. Обратная матрица существует только для невырожденных матриц (det A != 0).

Альтернативный метод (через союзную матрицу):
A^(-1) = (1/det A) * adj(A), где adj(A) — транспонированная матрица алгебраических дополнений.

A = [ 4 7 ] [ 2 6 ]

det(A) = 4*6 - 7*2 = 24 - 14 = 10 != 0 -> обратная существует.

По формуле для 2x2: A^(-1) = (1/det) * [ d -b ]
[ -c a ]
-> A^(-1) = 1/10 * [ 6 -7 ] = [ 0.6 -0.7 ]
[ -2 4 ] [ -0.2 0.4 ]

Проверка: A * A^(-1) = E — всегда выполняйте самоконтроль.

Вычисление A^(-1)

2x2 3x3

Опишите своё решение или задайте вопрос по обратным матрицам:

Ответ появится здесь...

Рассмотрим матрицу:

B = [ 2 1 -1 ] [ -3 -1 2 ] [ -2 1 2 ]

Шаг 1. Строим расширенную матрицу [B | I]:
[ 2 1 -1 | 1 0 0 ]
[ -3 -1 2 | 0 1 0 ]
[ -2 1 2 | 0 0 1 ]

Шаг 2. Приводим левый блок к единичной (элементарные преобразования строк).
После преобразований получаем правый блок — обратную матрицу B^(-1).

Результат (проверьте на калькуляторе):
B^(-1) = [ -2 1.5 -0.5 ]
[ 1 -1 1 ]
[ -2.5 2 -0.5 ]

Совет: попробуйте воспроизвести преобразования самостоятельно или используйте наш калькулятор выше, введя матрицу B.

Вопрос: Какое условие является необходимым и достаточным для существования обратной матрицы?

Определитель матрицы равен нулю Определитель матрицы не равен нулю Матрица квадратная (любая) Матрица симметрична

Используйте эти инструменты для дополнительной практики и проверки решений.

Забыли проверить det(A) = 0 -> обратной не существует.
При методе Гаусса–Жордана можно менять строки местами, но следите за знаком, если используете формулу с определителем.
Для матриц 2x2 используйте быструю формулу: swap диагональ, минус побочная.
Рекомендация: всегда проверяйте A * A^(-1) ? E.
При работе с дробями используйте десятичные дроби или обыкновенные дроби для точности.