Формула интегрирования по частям
∫ u dv = u·v - ∫ v du
где u = u(x), v = v(x) — дифференцируемые функции. Метод позволяет свести интеграл к более простому.
Как выбирать u и dv
- Логарифмические функции > u (ln x, log x)
- Обратные тригонометрические > u (arcsin, arctg)
- Степенные функции > часто u, если рядом есть экспонента или синус/косинус
- Правило LIATE: Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential — приоритет для u
Примеры
∫ x·e^x dx = x·e^x - ∫ e^x dx = e^x(x - 1) + C
∫ ln x dx = x·ln x - ∫ x·(1/x) dx = x ln x - x + C
∫ x·sin x dx = -x·cos x + ∫ cos x dx = -x·cos x + sin x + C
Иногда метод применяется дважды (например, ∫ e^x·sin x dx).